公元前500年，有一位牛人，叫毕达哥拉斯。如果你对这位牛人有点儿陌生，那你一定知道「毕达哥拉斯」定理，那就是「直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方」。在我国，这个定理就是著名的勾股定理。

(相关资料图)

勾股定理是余弦定理的特殊情况。

在毕达哥拉斯的时代，这个定理还有个有趣的名字，叫做「百牛定理」。原因是毕达哥拉斯发现并证明这个定理的时候太兴奋了，传说杀了100头牛来祭祀神明，感谢神明赐给他的灵感。

这位牛人创办了一个数学学派，叫做毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯学派相信，整数像原子一样，构成了宇宙中的一切，并描述宇宙中的一切。宇宙的一切事物的度量都可用整数或整数的比来表示，除此之外，就再没有什么了。

于是毕达哥拉斯学派认为「组成和描述世界的，只有整数和整数之比」。

然而，这个观点是错的，而且错的很远很远！

毕达哥拉斯有一个学生，叫希帕索斯。这个哥们勤奋好学，善于观察分析和思考。一天，他跑到毕达哥拉斯面前问他：「边长为1的正方形，其对角线的长是多少呢？」

毕达哥拉斯听到这个问题就愣了，根据他证明的定理，边长为1的正方形的对角线长度的平方应该等于2(即1^2+1^2)，那么什么数字的平方等于2呢？

毕达哥拉斯寻找了很久都没有找到，他希望能找到两个很大很大的数字相除，结果等于这个数字。但无论找到的分数的分子和分母多大，这个比值都只能很接近，却不能精确地等于2的平方根(当时还没有√2这种表达方式)。

也许你会想，数字要多大有多大，现在找不到，不代表以后找不到，也许有某两个100亿位的数字相除，结果正好等于2的平方根呢？

答案是没有。不需要一直找下去，就可以直接证明，√2不是任何两个整数之比！

反证法证明√2是无理数：

假设√2=p/q，

p、q为互质的正整数

（两个正整数,除了1以外,没有其他公约数时,称这两个数为互质数，非互质的两个数相除，可以消去公约数而成为更小的分数，比如2/4可以消掉公约数2变成1/2）

两边平方：2=p²/q²

p²=2q²         ——（1）

2q²显然为偶数,所以p²也是偶数，所以p必为偶数

设p=2k（k为正整数）

则（1）式变为：4k²=2q²

q²=2k²

同理得q也为偶数

两个偶数必有一个公约数2

与题设的p、q互质矛盾

故不存在互质的正整数p和q构成一个等于√2的分数。

希帕索斯的这个发现，从根本上动摇了毕达哥拉斯学派的核心思想。毕达哥拉斯无法解释这种“怪” 现象，他惊骇极了，整个学派的理论体系将面临崩溃。忐忑不安下，他采取了错误的方式：下令封锁消息，也不准希帕索斯再研究和谈论此事。

希帕索斯在毕达哥拉斯的高压下，心情非常痛苦，但在事实面前，他认为√2是客观存在的，老师的理论体系无法解释它，这说明老师的理论有问题。

后来，他不顾一切的将自己的发现和看法传扬了出去，整个学派顿时轰动了，也使毕达哥拉斯恼羞成怒，无法容忍这个“叛逆”，决定对希帕索斯施加惩罚。

希帕索斯听到风声后，连夜乘船逃走。然而，就在他所乘坐的海船的后面追来了几艘小船，当他还未醒悟过来的时候，毕达哥拉斯学派的打手已出现在他的面前，他手脚被绑后，投入到了浩瀚无边的大海之中。这位年轻的数学家就这样为了知识献出了生命。

后来的人们把希帕索斯发现的这种数称之为无理数，之前毕达哥拉斯所认为是宇宙全部的数(整数和两个整数至比)，称为有理数。

实际上这两个称呼的翻译是错误的，有理数来自于单词「rational number」, 词根ratio意思除了「合理」之外，还有一个含义是「比率」，所以更准切的翻译是「可被比例描述的数」和「不可被比例描述的数」。只不过叫习惯了，也就没必要改了。

后来的人们又证明，不仅存在着无理数，而且无理数的数量远远多于有理数。

在0和1之间随便插一根针，你有几乎是100%的概率得到一个无理数！

关键词： 毕达哥拉斯 毕达哥拉斯学派 勾股定理